Modelli di superficie

Le superfici possono essere rappresentate in 3 modi:

superfici implicite: definite dallo zero di una certa funzione (ad esempio $x^2 + y^2 + z^2 - 9 = 0$ per una sfera)
superfici parametriche: definite da il codominio di una certa funzione.
mesh poligonali (o superfici tassellate): utilizzate per rappresentare oggetti complessi difficilmente scomponibili in superfici implicite o superfici parametriche. Si tratta di superfici composte da tanti poligoni messi insieme, a cui non è possibile associare una vera e propria funzione.

Mesh poligonali

La rappresentazione generalmente più rilevante in computer grafica. Si tratta di una collezione di poligoni adiacenti, cioè che condividono un lato. La risoluzione del modello (alta risoluzione/bassa risoluzione) si riferisce al numero di facce (o vertici) che compongono la mesh poligonale. La risoluzione spesso è adattiva, cioè il numero di facce varia in base al dettaglio richiesto in uno specifico punto del modello.

Come si è visto parlando di rasterizzazione, la GPU generalmente lavora meglio con triangoli. Per questo, le mesh poligonali vengono divise in mesh triangolari. Il nome formale è maximal simplicial complex of order 2. (Il simplesso in N dimensioni è l’inviluppo complesso di N+1 punti, il 2-simplesso è il triangolo. Un complesso è un insieme di simplessi).

Una caratteristica che definisce se un complesso simpliciale è effettivamente il bordo di un volume o semplicemente un insieme di triangoli, è la 2-manifoldness (varietà). Se la superficie è il bordo di un volume, si dice 2-manifold. In maniera intuitiva, si può verificare se posso attaccare un dischetto di gomma sulla superficie. Se immaginiamo due cubi con un vertice in comune, questa proprietà non è valida. In maniera formale, un internal edge è two-manifold se e solo se è condiviso da due facce. Un vertice è two-manifold se appartiene a un solo ventaglio (un insieme di facce adiacenti che condividono un vertice). Per il rendering la manifoldness non è particolarmente rilevante, per il processing sì.

Per il rendering è invece importante l’orientamento della faccia: l’ordine (orario/antiorario) in cui vengono dati i vertici definisce l’orientamento di una faccia (qual è il davanti e qual è il dietro). Una mesh 2-manifold dove tutte le facce adiacenti hanno lo stesso orientamento si dice orientata. Se una mesh 2-manifold può essere orientata “flippando” un sottoinsieme delle sue facce si dice orientabile. Diventa di fondamentale importanza per il calcolo delle normali, ad esempio.

Un’altra caratteristica che una mesh può avere è essere chiusa o aperta. Definendo un border edge come un edge non condiviso da due facce, una mesh chiusa è una mesh senza border edge, una mesh aperta è una mesh con border edge.

Strutture dati per le mesh

Il modo più immediato per memorizzare una mesh è quello di utilizzare una “zuppa di poligoni”, un array di N poligoni, ciascuno con i propri attributi. È molto semplice, ma per niente efficiente, presentando la duplicazione di diversi attributi e vertici: tutti i vertici condivisi da più poligono appaiono nell’array più volte. È inoltre piuttosto complesso aggiornare la mesh: ogni volta che si vuole spostare o modificare un vertice è necessario farlo in ognuna delle sue occorrenze.

L’alternativa è quella di utilizzare l’indexed mesh, costituita da un array di vertici, ognuno con i propri attributi, e da una lista di indici che definisce i poligoni facendo riferimento ai vertici precedentemente definiti.

Attributi per le mesh

La posizione dei vertici non è l’unica informazione utile alla mesh. Vi sono diversi attributi di interesse per la superficie, alcuni esempi banali sono il colore e i vettori normale. Per associarli alla superficie si utilizzano due metodi principali: per vertice, il caso più comune, in cui si rende necessario capire come definire gli attributi per tutto il resto della faccia; o per faccia, più raro, significa che l’attributo è costante per tutta la faccia e provoca discontinuità tra facce adiacenti.

Per capire come calcolare gli attributi all’interno della faccia, avendoli definiti per vertice, occorre prima definire le coordinate baricentriche: si tratta di una somma pesata dei punti che definiscono la primitiva. Per le facce triangolari abbiamo $p = w_0p_0 + w_1p_1 + w_2p_2$, con $w_0 + w_1 + w_2 = 1$. Il calcolo dei pesi viene svolto utilizzando le aree dei tre sotto triangoli che compongono la faccia, definiti dal punto di cui si vogliono calcolare le coordinate.

Superfici implicite

Come detto prima, le superfici implicite non sono altro che lo zero di una funzione, cioè $S = (x,y,z): f(x,y,z)=0$. Dividono “implicitamente” l’interno dall’esterno. Se $f(p) < 0$ allora il punto $p$ si trova all’interno, se $f(p) > 0$ si trova all’esterno, se $f(p) = 0$ si trova sulla superficie. Una caratteristica interessante è che è facile combinare diverse superfici implicite.

Il calcolo della normale viene svolto come il gradiente normalizzato di $f(p)$, si ha quindi una formula diretta piuttosto semplice.

Con le operazioni di massimo e minimo posso ottenere l’unione, l’intersezione e la differenza di diverse superfici implicite.

Le superfici implicite permettono di definire anche le cosiddette metaballs, definite come sommatoria di funzioni semplici, in cui ogni funzione dipende solamente dalla distanza da un punto tridimensionale.

Superfici parametriche

Prima di vedere le superfici parametriche prendiamo in esame le curve parametriche.

Le curve parametriche sono funzioni $f: A \to B, A \subseteq \R, B \subseteq \R^3$, con un dominio dei parametri, e definite come $f(t) = \beginpmatrixx(t) \ y(t) \ z(t) \endpmatrix$. Si parla di spline quando si parla di curve polinomiali a tratti con grado maggiore di 1. Una curva polinomiale a tratti è definita da una serie di punti di controllo, e ogni punto è ottenuto sommando i punti di controllo pesati con un polinomio. Si dice interpolante quando passa per i punti di controllo, e approssimante se passa vicino.

Un esempio classico sono le curve di Bèzier, che utilizzano come funzione per i pesi i polinomi di Bernstein.

$f(t) = \sum_0^n p_i B_n(t) ;;;;;; 0 \leq t \leq 1$

$B_n(t) = \binomn0t^i (1-t)^$

Una superficie parametrica è invece una funzione che va da un dominio bidimensionale a un dominio tridimensionale.

$f\beginpmatrixs \ t\endpmatrix = \beginpmatrixx \ y \ z\endpmatrix$

La Bezier patch è l’estensione a due dimensioni della curva di Bezier.

Come si passa però dalle superfici parametriche alle mesh per il rendering? Si può campionare lo spazio dei parametri, calcolare il valore nei punti campione e ottenere i corrispettivi punti tridimensionali. Collegare poi i vari punti con triangoli è il processo più semplice.