Trasformazioni geometriche

Un punto rappresenta una posizione nello spazio. Un vettore, per noi, rappresenta uno spostamento nello spazio. Ha una direzione, una lunghezza (magnitudo), e non ha una posizione.

Le operazioni che quindi definiamo sono le seguenti:

somma tra punto e vettore, il cui risultato è un punto: $\mathrmp_0 + v_0 = \mathrmp_1$
differenza tra due punti, il cui risultato è un vettore: $\mathrmp_1 - \mathrmp_0 = v_0$
somma tra vettori, il cui risultato è un vettore: $v_0 + v_1 = v_1 + v_0 = v_2$
moltiplicazione tra scalare e vettore, il cui risulato è un vettore: $2v_0 = v_1$
prodotto scalare tra due vettori, il cui risultato è uno scalare: $a \cdot b = \sum^n a_1b_1 + \ldots + a_nb_n = || a || || b || \cos(\theta)$, da cui abbiamo che il prodotto scalare tra due vettori è zero se i due vettori sono perpendicolari tra loro.
prodotto vettoriale tra due vettori, il cui risultato è un vettore: $a \times b$. Restituisce un vettore ortogonale sia ad $a$ che a $b$. La norma del prodotto vettoriale

Ricordiamo velocemente anche le coordiate polari: un metodo alternativo alle coordinate x-y per rappresentare una posizione. Sono composte di due valori (in contesto bidimensionale): $\alpha$ è un angolo rispetto all’asse $x$ e $\rho$ è la distanza del punto dall’origine.

Per passare da coordinate x-y a coordinate polari:

$\rho = \sqrt2 \ \alpha = \arctan2(y, x)$

Per passare da coordinate polari a coordinate x-y:

$x = \rho \cos(\alpha) \ y = \rho \sin(\alpha)$

Le trasformazioni

Una trasformazione geometrica è una funzione che mappa punti a punti e vettori a vettori. Trasformare un oggetto significa applicare la trasformazione a tutti i punti dell’oggetto.

Traslazione

La traslazione è tipicamente utilizzata per spostare gli oggetti. Si definisce un vettore di traslazione, che indica direzione e magnitudo dello spostamento, e lo si somma ad ogni punto dell’oggetto.

Scalatura

Consiste nel ridimensionare un oggetto cambiandone la scala. Si calcola moltiplicando le componenti dei punti che compongono l’oggetto per dei fattori di scala (scaling factor).

$S(\mathrmp) = \beginbmatrixs_x \cdot \mathrmp_x \ s_y \cdot \mathrmp_y \endbmatrix$

Se $s_x = s_y$ si dice che la scalatura è uniforme (o isotropica), significa che le proporzioni dell’oggetto non cambiano. Altrimenti si dice che la scalatura è non uniforme (anisotropica).

Rotazione

Consiste nel ruotare un oggetto attorno all’asse $z$ (nel caso bidimensionale). Dato un punto $p$ espresso in coordinate polari

$\mathrmp = \beginbmatrix\rho \cos(\beta) \ \rho \sin(\beta)\endbmatrix$

la rotazione di un angolo $\alpha$ si calcola

$R(\mathrmp) = \beginbmatrix\rho \cos(\beta + \alpha) \ \rho \sin(\beta + \alpha)\endbmatrix = \beginbmatrix\cos(\alpha)\mathrmp_x - \sin(\alpha)\mathrmp_y \ \sin(\alpha)\mathrmp_x + \cos(\alpha)\mathrmp_y\endbmatrix$

Shear

Consiste nel traslare ogni punto lungo un asse in maniera proporzionale alla posizione sull’altro asse.

Trasformazioni attraverso matrici

Il modo più comodo per calcolare in realtà le varie trasformazioni, è effettuando moltiplicazioni di oppurtune matrici di trasformazione. Ad esempio, scalatura e rotazione sappiamo si possono rappresentare entrambe come

$\mathrmp’x = axx\mathrmpx + axy\mathrmp_y \ \mathrmp’y = ayx\mathrmpx + ayy\mathrmp_y$

e quindi, più comodamente

$\mathrmp’ = \beginbmatrix a_xx & a_xy \ a_yx & a_yy\endbmatrix\mathrmp$

Matrice di rotazione:

$R_\alpha = \beginbmatrix \cos(\alpha) & -\sin(\alpha) \ \sin(\alpha) & \cos(\alpha)\endbmatrix$

Matrice di scalatura:

$S = \beginbmatrix s_x & 0 \ 0 & s_y\endbmatrix$

Tutta via, la moltiplicazione matrice-vettore esprime combinazioni lineari, che non sono applicabili per la traslazione, a meno di non utilizzare coordinate omogenee

$\mathrmp = \beginbmatrixp_x \ p_y \ 1\endbmatrix ;;;;;; v = \beginbmatrixv_x \ v_y \ 0\endbmatrix$

Si aggiunge un ulteriore “coordinata”, impostata a 1 per i punti e a 0 per i vettori.

Per compiere una traslazione con matrici si ottiene dunque:

$\beginbmatrix1 & 0 & v_x \ 0 & 1 & v_y \ 0 & 0 & 1\endbmatrix\beginbmatrixp_x \ p_y \ 1\endbmatrix = \beginbmatrixp_x + v_x \ p_y + v_x \ 1\endbmatrix$

Una matrice che compie traslazione, rotazione e scalatura ha quindi la forma

$\beginbmatrixa_xx & a_xy & v_x \ a_yx & a_yy & v_y \ 0 & 0 & 1\endbmatrix$

Proprietà delle trasformazioni

Una trasformazione si dice affine se e solo se

preserva collinearità
preserva il rapporto tra le distanze di coppie punti su linee parallele
preserva il parallelismo: linee parallele rimangono parallele

Traslazione, scalatura e rotazione sono tutte e tre trasformazioni affini.

In generale, qualsiasi trasformazione la cui matrice ha l’ultima riga di soli zeri (escluso l’elemento in basso a destra) ed è invertibile è una trasformazione affine.

Comporre trasformazioni

Se voglio compiere più trasformazioni in serie, una dopo l’altra, posso limitarmi a moltiplicare il punto di partenza per le matrici di trasformazione, in successione.

Frame

Un frame è un sistema di riferimento, in cui andiamo a definire punti e vettori. Un frame è caratterizzato da un’origine $o$, un’asse orizzontale $u$ e un’asse verticale $v$. Si chiama frame canonico quello per cui $o = \beginbmatrix0 \ 0 \ 1\endbmatrix$, $u = \beginbmatrix1 \ 0 \ 0\endbmatrix$ e $v = \beginbmatrix0 \ 1 \ 0\endbmatrix$

Dato un frame $F = [o, u, v]$ lo si può rappresentare come una matrice

$F = \beginbmatrixu_x & v_x & o_x \ u_y & v_y & o_y \ 0 & 0 & 1\endbmatrix$

Se $\mathrmp_F$ sono le coordinate di un punto in un frame $F$, $F\mathrmp_F$ sono le coordinate nel frame canonico.

Estensione a tre dimensioni

I concetti di base rimangono gli stessi, vengono utilizzate matrici e vettori a quattro dimensioni invece che a tre (rimane il bisogno delle coordinate omogenee). L’unico aspetto richiedente un minimo di cura in più è quello legato alle rotazioni.

In tre dimensioni, infatti, si può scegliere di ruotare un oggetto attorno a uno qualsiasi dei tre assi di rotazione.

$R_x = \beginbmatrix 1 & 0 & 0 & 0 \ 0 & \cos(\alpha) & -\sin(\alpha) & 0 \ 0 & \sin(\alpha) & \cos(\alpha) & 0 \ 0 & 0 & 0 & 1\endbmatrix$

$R_y = \beginbmatrix \cos(\alpha) & 0 & -\sin(\alpha) & 0 \ 0 & 1 & 0 & 0 \ \sin(\alpha) & 0 & \cos(\alpha) & 0 \ 0 & 0 & 0 & 1\endbmatrix$

$R_z = \beginbmatrix \cos(\alpha) & -\sin(\alpha) & 0 & 0 \ \sin(\alpha) & \cos(\alpha) & 0 & 0 \ 0 & 0 & 1 & 0 \ 0 & 0 & 0 & 1\endbmatrix$